Даны два двойных интеграла. Требуется подобрать замены так, чтобы области интегрирования перешли в прямоугольники со сторонами, параллельными осям, и вычислить интегралы в новых координатах.
Даны несколько двойных интегралов. Требуется выяснить, какой именно способ представления двойного интеграла в виде повторного предпочтительнее с вычислительной точки зрения, и вычислить данные двойные интегралы.
1) доказать тот факт, что двойной интеграл от суммы двух функций равен сумме двух двойных интегралов, и 2) объяснить одно не вполне очевидное интегральное равенство.
Как посмотреть на пространственное тело с разных точек зрения при вычислении его объема посредством применения геометрического смысла двойного интеграла.
Как вычислить радиус разбиения области интегрирования, просто глядя на картинку, и что произойдет, если в смысле двойного интеграла проинтегрировать единицу.
В чем состоит общая схема определения интегралов, как строиться интегральная сумма для двойного интеграла, что такое радиус разбиения области интегрирования, и как путем предельного перехода из интегральной суммы получается двойной интеграл.
В чем состоит достаточное условие экстремума функции двух переменных, и в каких случаях в стационарной точке функции действительно наблюдается экстремум.
Почему частных производных первого порядка у функции двух переменных две штуки, частных производных второго порядка — три штуки, третьего — четыре и так далее.
Требуется при помощи градиента определить направление наибольшего роста и направление нулевого роста данных функций двух переменных в указанных точках.
Что такое частные производные функции двух переменных, как их вычислять, и в чем состоит геометрическая интерпретация частной производной функции двух переменных в точке.
Что такое предел функции двух переменных, и почему при вычислении пределов функций двух переменных следует учитывать траекторию, по которой переменная точка приближается к своему предельному значению.
Что такое несобственный интеграл второго рода, в каких случаях говорят, что он сходится (расходится), и как исследовать несобственные интегралы второго рода на сходимость (расходимость).
Что такое несобственный интеграл первого рода, в каких случаях говорят, что он сходится (расходится), и как исследовать несобственные интегралы перового рода на сходимость (расходимость).
Даны несколько интегралов, и даны замены, при помощи которых их нужно посчитать. Требуется выполнить эти замены и вычислить данные определенные интегралы.
Что такое определенный интеграл с переменным верхним пределом, и как при помощи определенного интеграла с переменным верхним пределом вычислять первообразные некоторых неэлементарных функций.
Как обосновать вторую часть линейности определенного интеграла (или почему определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме двух определенных интегралов).
Даны два неопределенных интеграла. Требуется придумать замены, при помощи которых эти интегралы можно вычислить, выполнить эти замены и вычислить интегралы.
Даны три неопределенных интеграла. Требуется подобрать нужные преобразования дифференциала, свести данные интегралы к табличным интегралам и вычислить их.
Какие еще есть преобразования дифференциала (степенные, логарифмические, тригонометрические и так далее), и как их использовать для вычисления неопределенных интегралов.
Как выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции и путем линейного преобразования дифференциала свести неопределенный интеграл к арктангенсу.
Даны несколько неопределенных интегралов. Требуется, глядя на них, угадать (да-да, именно угадать) результат и доказать свою догадку путем дифференцирования.
Даны три функции. Требуется вычислить их производные, пользуясь всеми известными вам методами: таблицей производных, правилами дифференцирования и правилом дифференцирования сложной функции.
В чем состоит необходимое условие дифференцируемости, как из него получить достаточное условие не дифференцируемости, и почему необходимое условие дифференцируемости не является достаточным.
Как, пользуясь геометрическим смыслом производной, можно установить те промежутки, на которых производная положительна или отрицательна, а также те точки, где производная равна нулю.
Даны две функции. Требуется, пользуясь свойствами этих функций, установить, на каких участках производные этих функций положительны, а на каких отрицательны.
Как определяется производная функции в точке, что такое производная функции на множестве, и как при помощи определения производной вычислять производные некоторых простейших функций.
Какие бывают эквивалентности бесконечно малых, как следует представлять себе эквивалентность бесконечно малых наглядно, и как можно использовать эквивалентные бесконечно малые при вычислении пределов.
Как определяются 1) бесконечно малые одного порядка малости, 2) эквивалентные бесконечно малые, 3) бесконечно малые более высокого порядка малости, и как сравнить порядок малости двух бесконечно малых функций.
Как определяются бесконечно малые, бесконечно большие и ограниченные функции, и почему одна и та же функция в разных точках может быть как бесконечно малой, так и бесконечно большой или ограниченной.
Что такое предел последовательности, как предел последовательности можно представлять себе наглядно, и как вычислять предел последовательности, пользуясь определением предела последовательности.
Какие последовательности называются ограниченными снизу, какие ограниченными сверху, а какие — не ограничены, и как выяснить, является ли данная последовательность ограниченной.
Как по данной формуле общего члена последовательности выписать серию первых членов этой последовательности, и наоборот, как по серии первых членов последовательности получить формулу общего члена этой последовательности.
1) Даны начальные серии последовательностей. Требуется записать формулы для общих членов этих последовательностей и изобразить члены последовательности как точки на числовой прямой. 2) Наоборот. Даны формулы общих членов последовательностей. Требуется выписать начальные серии членов этих последовательностей и изобразить члены последовательностей в виде точек на числовой прямой.
Что такое числовая последовательность, как себе следует представлять числовую последовательность, и какие имеются способы задать числовую последовательность.